在 DEA 模型中, 为了刻画出有效前沿有两种方式, 一种是输入导向型, 另一种是输出导向型。以下是输入导向型方法, 即在保持输出水平不变的基础上使输入最小化。 $\theta^*=\min \theta$ s.t. $\sum_{j=1}^n \lambda_j x_{i j} \leqslant \theta x_{i o} \quad i=1,2, \cdots, m$ $\sum_{j=1}^n \lambda_j y_{r j} \geqslant y_{r o} \quad r=1,2, \cdots, s$ $\sum_{j=1}^n \lambda_j=1$ $\lambda_j \geqslant 0 \quad j=1,2, \cdots, n$

式中, $\mathrm{DMU}_o$ 指的是 $n$ 个决策单元中的一个待评价单元, 并且 $x_{i o}$ 与 $y_{\mathrm{ro}}$ 代表的是 $\mathrm{DMU}_0$ 的第 $i$ 个输入及第 $r$ 个输出。 在模型中, $\lambda_j$ 都是未知的权重, 这里 $j=1,2, \cdots, n$ 代表的是决策单元 的数量。不等式左侧代表的是所有决策单元的输入和输出的凸集合 (或者叫做虚拟决策单元), 右侧代表的是待评价单元的输入和输出。

该模型有三个约束条件, 实际上有 $(m+s+1)$ 个约束条件, “第一个约束条件” 其实代表 $m$ 个不同的约束条件, 每个输入都有一个约束条件; “第二个约束条件” 其实代表 $s$ 个不同的约束条件, 每个输出都有一个约東条件。也就是说, 模型可以表示成 $$ \theta^*=\min \theta $$ s.t. $$ \begin{aligned} &\lambda_1 x_{i 1}+\lambda_2 x_{i 2}+\cdots+\lambda_j x_{i j}+\cdots+\lambda_n x_{i n} \leqslant \theta x_{i o} \quad i=1,2, \cdots, m \\ &\lambda_1 y_{r 1}+\lambda_2 y_{r 2}+\cdots+\lambda_j y_{r j}+\cdots+\lambda_n y_{r n} \geqslant y_{r o} \quad r=1,2, \cdots, s \\ &\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_j+\cdots+\lambda_n=1 \\ &\lambda_j \geqslant 0 \quad j=1,2, \cdots, n \end{aligned} $$ 或者更详细地表示成 $$ \begin{aligned} &\theta^*=\min \theta \\ &\text { s.t. } \\ &\lambda_1 x_{11}+\lambda_2 x_{12}+\cdots+\lambda_j x_{1 j}+\cdots+\lambda_n x_{1 n} \leqslant \theta x_{10} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} &\lambda_1 x_{21}+\lambda_2 x_{22}+\cdots+\lambda_j x_{2 j}+\cdots+\lambda_n x_{2 n} \leqslant \theta x_{2 o} \text { (第 } 2 \text { 个输入) } \\ &\cdots \cdots \\ &\lambda_1 x_{m 1}+\lambda_2 x_{m 2}+\cdots+\lambda_j x_{m j}+\cdots+\lambda_n x_{m n} \leqslant \theta x_{m o} \\ &\quad(\text { 第 } m \text { 个输入, 即最后一个输入) } \\ &\lambda_1 y_{11}+\lambda_2 y_{12}+\cdots+\lambda_j y_{1 j}+\cdots+\lambda_n y_{1 n} \geqslant y_{10} \quad \text { (第 } 1 \text { 个输出) } \\ &\lambda_1 y_{21}+\lambda_2 y_{22}+\cdots+\lambda_j y_{2 j}+\cdots+\lambda_n y_{2 n} \geqslant y_{2 o} \quad \text { (第 } 2 \text { 个输出) } \\ &\cdots \cdots \\ &\lambda_1 y_{s 1}+\lambda_2 y_{s 2}+\cdots+\lambda_j y_{s j}+\cdots+\lambda_n y_{s n} \geqslant y_{s o} \\ &\text { (第 } s \text { 个输出, 即最后一个输出) } \\ &\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_j+\cdots+\lambda_n=1 \\ &\lambda_j \geqslant 0 \quad j=1,2, \cdots, n \quad \end{aligned} $$

式中, $\theta$ 是决策变量, 代表着效率值。由于 $\theta=1$ 是式的可行解, 所以式 的最优解 $\theta^*$ 必定小于 1 , 如果 $\theta^*=1$, 意味着当前输入不能再缩减了，即 $\mathrm{DMU}_o$ 是 位于效率前沿上的；如果 $\theta^*<1$, 那 $\mathrm{DMU}_0$ 在有效前沿围起来的区域内，或者说 评价单元的输入可以以同等比例 $\theta^*$ 缩减。也就是说, 相同水平的输出量可以通过更少的输入实现。

在演示如何构建数据模型之前, 我们先来看一个例子, 这里共有 5 个决策单元。在一个星期内，每个决策单元都通过供应链成本及反应 时间的不同组合产生了 1500 美元的利润。

下图展示出这五个决策单元以及有效前沿, 决策单元 1,2,3 和 4 都在前沿面上。如果我们将模型应用到 $\mathrm{DMU}_5$ 的评价上，有 $$ \begin{aligned} &\min \theta \\ &\text { s.t. } \\ &1 \lambda_1+2 \lambda_2+4 \lambda_3+6 \lambda_4+4 \lambda_5 \leqslant 4 \theta \\ &5 \lambda_1+2 \lambda_2+1 \lambda_3+1 \lambda_4+4 \lambda_5 \leqslant 4 \theta \\ &15 \lambda_1+15 \lambda_2+15 \lambda_3+15 \lambda_4+15 \lambda_5 \geqslant 15 \\ &\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5=1 \\ &\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4, \lambda_5 \geqslant 0 \end{aligned} $$

参考资料：